মাধ্যমিক ২০২৩

        *গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতির প্রয়োগ*

প্রস্তুত করেছেন : নায়ীমুল হক

➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖

1. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। বর্ধিত AB ও DC বাহু দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, PA.PB=PC.PD.

2. 2. প্রমাণ করো সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা সদৃশ এবং ওই ত্রিভুজ দুটি মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ।

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। বৃত্তের উপরে অবস্থিত কোনো বিন্দু P থেকে AB ব্যাসের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করা হল যা AB-কে N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো, PB^2=AB.BN.

4. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার ওপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP এবং CP যথাক্রমে AC ও ABকে Q এবং R বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো RQ II BC.

5. ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার AB II DC, AB- এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা AD এবং BC বাহুকে E, F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো AE : ED = BF : FC.

6. ত্রিভুজ ABC-এর BC বাহুর ওপর D যে কোনো বিন্দু। P, Q যথাক্রমে ত্রিভুজ ABD এবং ত্রিভুজ ADC এর ভরকেন্দ্র হলে, প্রমাণ করো PQ II BC.

7. দুটি বৃত্ত পরস্পর P বিন্দুতে বহি:স্পর্শ করেছে। QR সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে Q ও R বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ করো < QPR=90°

8. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহি:স্পর্শ করলে প্রমাণ করো যে, বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রত্রয়ের সংযোজক রেখাংশ তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

9. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD, প্রমাণ করো যে, AB + CD = BC + DA.

10. A এবং B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে O বিন্দুতে বহি:স্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P,Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করো AP II BQ.

11. ত্রিভুজ ABC-এর <A সমকোণ। CD মধ্যমা হলে প্রমাণ করো, BC^2=CD^2 +3 AD^2

12. ত্রিভুজ ABC-এর <A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5 BC^2 = 4( BP^2 + CQ^2).

13. ABCD একটি আয়তক্ষেত্র এবং O আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে যে কোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করো যে, OA^2 + OC^2 = OB^2 +OD^2.

14. ABC ত্রিভুজের <A সমকোণ, AB এবং BC এর এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q, প্রমাণ কর যে AQ^2+ CP^2 =5 PQ^2.

15. ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A থেকে BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD। যদি AD^2 = BD.CD হয়, তবে প্রমাণ করো যে <BAC= 1 সমকোণ।

—–×—–

*ম্যাথস ফোরাম, নিউটাউন, হাতিয়াড়া*